გაკვეთილი მეცხრამეტე

 

მათემატიკური ამოცანები

 

მოდით, ამოვხსნათ ისეთი ამოცანები, რომელთაც, გარდა ინტერესისა, პრაქტიკული მნიშვნელობაც გააჩნიათ.

     ამოცანა 1. ძვირფასი საპალტოვე ქსოვილის ერთი მეტრი ღირდა 25 ლარი. საშობაოდ იგი გააიაფეს 23 %-თ. რა ღირს ახლა საპალტოვე?

      ამოხსნა. ჯერ უნდა ვიპოვოთ 25-ის ერთი პროცენტი, მერე ეს რიცხვი გავამრავლოთ ოცდასამზე და მიღებული რიცხვი გამოვაკლოთ ოცდახუთს. აქ გავიხსენოთ, რომ ერთი პროცენტის გასაგებად რიცხვი უნდა გაიყოს ასზე. ამიტომაც გვექნება (25/100)*23=5.75. გამოდის, რომ საპალტოვის ერთ მეტრს დაუკლია 5 ლარი და 75 თეთრი. ახლა გავიგოთ რა არის მისი ახალი ფასი? 25-5.75=19.25.

     ამოცანა 2. შემოდგომით კომბოსტო ღირდა 70 თეთრი. ზამთარში კი _ ლარი და 30 თეთრი. რამდენი პროცენტით გაძვირებულა კომბოსტო?

     ამოხსნა. თუ მოვახდენთ ამოცანის ფორმალიზებას, ეს ნიშნავს, იმას, რომ უნდა გავიგოთ ოთხმოცი თეთრის რამდენი პროცენტია ლარი და 30 თეთრი. ამისთვის ახალი ფასი უნდა გავყოთ ძველ ფასზე და გავამრავლოთ ასზე. გამოვითვალოთ: (1.30/0.80)*100=162.5. მაშასადამე. კომბოსტოს მოუმატია 162.5-100=62.5. ზამთრისთვის კომბოსტო გაძვირებულა სამოცდაორ-ნახევარი პროცენტით.

     ამოცანა 3. 7 პროცენტით მომატებული ბენზინი ახლა ღირს ლარი და ათი თეთრი. ნეტავ, რა ღირდა ბენზინი გაძვირებამდე?

     ამოხსნა: ეს ამოცანა უკვე მოითხოვს განტოლების შედგენას. როგორც წესი, უცნობ სიდიდეს აღნიშნავენ იქს ასოთი, მაგრამ ჩვენი კომპიუტერი იქსის მაგივრად წერს ასო ხ-ს, ამიტომაც უცნობი აღვნიშნოთ ასო ტეთი. მაშინ ტეს უნდა მივუმატოთ ტეს 7 % და გავუტოლოთ ორ ლარსა და ათ თეთრს. ტ+(ტ*7/100=2.1. გაერთმნიშვნელიანების შემდეგ გვექნება: 107*ტ/100=1.2. დავიყვანოთ განტოლება წრფივ სახეზე. 107ტ=100*2.1, გამოვითვალოთ განტოლების მარჯვენა მხარე 2.1*100=210; განტოლება მიიღებს სახეს: 107*ტ=210. ეს კი არის ერთუცნობიანი ამოცანა. მის ამოსახსნელად თავისუფალი წევრი უნდა გავყოთ უცნობის კოეფიციენტზე. ტ= 210/107=1.96. შვიდპროცენტიან გაძვირებამდე ბენზინი ღირებულა ლარი და ოთხმოცდათექვსმეტი თეთრი.

     ახლა მივხედოთ სკოლაში ნასწავლ მათემატიკას. პირველად გავიხსენოთ არითმეტიკული პროგრესია.

     განმარტების თანახმად, არითმეტიკული პროგრესია წარმოადგენს რიცხვთა მიმდევრობას, რომლის ყოველი წევრი მიიღება, წინა წევრს დამატებული ერთიდაიგივე რიცხვი. ამ რიცხვს ეწოდება არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობა და მას გამოვითვლით, თუ პროგრესიის ნებისმიერ წევრს გამოვაკლებთ მის წინ მდგომ წევრს. მაგალითად,არითმეტიკულ პროგრესიას წარმოადგენს რიცხვთა მიმდევრობა  1; 4; 7; 10; 13; 16; 19; 22; 24; და ასე შემდეგ. ადვილი მისახვედრია, რომ ამ მიმდევრობაში ყოველი წევრი მიიღება წინა წევრზე სამის დამატებით არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობას შეიძლება წარმოადგენდეს ნებისმიერი რიცხვი, როგორც დადებითი, ისე უარყოფითი. როგორც მთელი ასევე ათწილადი.ზოგადად არითმეტიკულინ პროგრესიის წევრებს აღნიშნავენ ასე: ა1; ა2; ა3; ა4; ა5; ა6 და ასე შემდეგ. ზოგადი წევრი აღინიშნება აენ-ით. არითმეტიკული პროგრესიის სხვაობის დასადგენად მომდევნო წევრს უნდა გამოვაკლოთ წინა წევრი, ხოლო მეენე წევრის გამოსათვლელად იყენებენ ფორმულას: ა ენი=ა1+(ენ-1)*დ-ეზე. დეთი აღნიშნავენ სხვაობას.

    ამოცანა4. გამოვითვალოთ წეღანდელი პროგრესიის მეასე წევრი. ამ პროგრესიის ა1=1, ენ=100, ხოლო სხვაობა ანუ დ=3. ჩავსვათ ეს მონაცემები ფორმულაში . მივიღებთ: ა100= 1+(100-1)*3=298.

     ამოცანა 5. გამოვითვალოთ ყველა რიცხვის ჯამი ერთიდან ასამდე. 1+2+3+4+5+6+ . . . +98+99+100. ეს არის ჯამი არითმეტიკული პროგრესიის წევრებისა. ამ შემთხვევაში ა1=1, ა100=100, ხოლო ა ენი=100 და ენი=100. არითმეტიკული პროგრესიის წევრების ჯამი ერთიდან ენამდე. გავიხსენოთ არითმეტიკულ წევრთა ჯამის გამოსათვლელი ფორმულა. წევრთა ჯამი აღინიშნება, როგორც ეს-ენი. ეს-ენი=((ა1+ა ენი)/2)*ენზე. ჩავსვათ ჩვენი მაგალითისთვის მონაცემები. ეს100= ((1+100)/2)*100=5050.

     გადავიდეთ გეომეტრიულ პროგრესიაზე. შეგვიძლია გამოვითვალოთ გეომეტრიული პროგრესიის ზოგადი წევრი და ამ პროგრესიის წევრთა ჯამი. გეომეტრიული პროგრესია _  ისეთი რიცხვითი  მიმდევრობაა, რომლის პირველი წევრი   ნულისაგან განსხვავებულია, ხოლო ყოველი წევრი, მეორედან დაწყებული, მიიღება წინა წევრის ერთსა და იმავე   ნულისაგან განსხვავებულ რიცხვზე   გამრავლებით.   გეომეტრიული პროგრესიის წევრები აღინიშნებიან ასე: ბე 1; ბე 2; ბე 3; ბე 4; ბე 5; და ასე შემდეგ. გეომეტრიული პროგრესიაა 1; 2; 4; 8; 16; 32; და ასე შემდგომ. აქ პირველი წევრი ბე1=1 ბ2=2; ბ3=4. . . აქ მომდევნო რიცხვი მიიღება წინა წევრის ორზე გამრავლებით. ამ რიცხვს ეწოდება მნიშვნელი. მნიშვნელის გამოსათვლელად პროგრესიის ნებისმიერი წევრი უნდა გავყოთ მის წინ მდგომ წევრზე.

    გეომეტრიული პროგრესიის ენური წევრის გამოსათვლელად მნიშვნელი აგვყავს ენს მინუს ერთ ხარისხში და ვამრავლებთ პირველ წევრზე. მაშასადამე, ბე ენი=ბ1*სქრ(ქუ, ენ-1).

       ამოცანა 6. გამოვითვალოთ ზემოთ მოცემული გეომეტრიული პროგრესიის მეათე წევრი: ბ10= 1*სქრ(2,9)=512. გეომეტრიული პროგრესიის პირველი ენ წევრის ჯამი კი წარმოადგენს წილადს, რომლის მრიცხველშია გამოსახულება: ბ1-ის ნამრავლი ქუ ხარისხად ენ მინუს ერთზე, ხოლო მნიშვნელია ქუს მინუს ერთი.  ვეცადოთ ამ ფორმულის ჩაწერას: ეს-ენი=ბე1*(სქრ(ქუ,ენ)-1)/(ქ-1). გამოვიანგარიშოთ მოცემული პროგრესიისათვის პირველი ათი წევრის ჯამი: ეს10=1*(სქრ(2,10)-1)/(2-1)=1023.

     ჩვენს მათემატიკურ განათლებას არ ექნება არავითარი ფასი, თუ ვერ შევძლებთ კვადრატული განტოლების ამოხსნას. ხომ გახსოვთ სკოლაში სულ ამ განტოლებებს გვახსნეინებდნენ. იქ უცნობს აღვნიშნავდით იქს ან იგრეკ ასოთი, მაგრამ აქ ზემოთ ვახსენეთ რატომ ვერ გამოვიყენებთ ამ ასოებს. უცნობის აღსანიშნავად ვიხმაროთ ასო ტე. გავიხსენოთ კვადრატული განტოლების ზოგადი სახე: ა*ტეკვადრატ+ბე*ტე+ცე= 0. ა-ს ეწოდება ტე კვადრატის, ანუ პირველი კოეფიციენტი, ბე_ს შუა წევრის კოეფიციენტი, ხოლო ცე-ს თავისუფალი წევრი. ცხადია, არსებობს ამ კოეფიციენტებისა და თავისუფალი წევრის საშუალებით კვადრატული განტოლების ამოხსნის ფორმულა. მაგრამ ჩვენ პირველად გამოვითვალოთ განტოლების შესაბამისი დისკრიმინანტი, რომელიც არის კვადრატული ფესვი მეორე კოეფიციენტის კვადრატს მინუს გაოთხკეცებული პირველი და თავისუფალი წევრის ნამრავლიდან. თუ ეს რიცხვი უარყოფითია, მაშინ განტოლებას არ აქვს ამონახსნი და შემდეგი გამოთვლებს აზრი ეკარგება. მაშასადამე, დისკრიმინანტი გამოითვლება ფორმულით: დ=სქრ(ბ,2)-4*ა*ც. ავიღოთ განტოლება 2ტეკვადრატ-10*ტ+12=0. აქ კიდევ ერთხელ შეგახსენებთ, რომ მათემატიკური ფორმულების წასაკითხად აუცილებლად უნდა ჩართოთ კითხვის რეჟიმი სასვენი ნიშნების გამოცხადებით ან არა და გამოსახულების სწორად აღქმისთვის იგი წაიკითხოთ ასო-ასო.ამოსახსნელ განტოლებაში პირველი კოეფიციენტი ა არის 2, შუა წევრი ბე მინუს ათი, ხოლო თავისუფალი წევრი ცე უდრის თორმეტს. ჩავსვათ ეს რიცხვები დისკრიმინანტის გამოსათვლელ ფორმულაში. დე= სქრ(-10,2)-4*2*12=4. რადგან დისკრიმინანტი დადებითი რიცხვია, ამიტომ შეგვიძლია განვაგრძოთ  და ვიპოვოთ ფესვები. მათი ფორმულები ასეთია:ტ1=(სქტ(დ)-ბ)/(2*ა), ტ2=(-სქტ(დ)-ბ)/(2*ა). ჩავსვათ ა-ს, ბეს და დისკრიმინანტის მნიშვნელობები. გვექნება: ტ1= (სქტ(4)-(-10))/(2*2)=3, ტ2= (-სქტ(4)-(-10))/(2*2)=2.

    ჩვენ შეგვიძლია კალკულატორის დახმარებით ვაწარმოვოთ სხვა გამოთვლებიც, მაგრამ სჯობს ეს გაკვეთილი აქ დავამთავროთ. დანარჩენი კი მიგვინდვია თქვენი საზრიანობისთვის. თუ შევაჯამებთ მთავარ ნაწილს ამ გაკვეთილისას, შეგვიძლია აქ გამოყენებულ ფორმულებს ერთად მოვუყაროთ თავი.

    1. არითმეტიკული პროგრესიისთვის გვექნება: ენური წევრის გამოსათვლელი ფორმულა_ ა-ენი=ა1+(ენ-1)*დ, პირველი ენ წევრის ჯამის გამოთვლისათვის კი  ვსარგებლობთ ფორმულით: ს-ენი=((ა1+აენი)/2)*ენზე.

      2. გეომეტრიული პროგრესიისთვის კი შესაბამისად გვაქვს ფორმულები: ბ-ენი=ბ1*სქრ(ქ,ენ-1).     ს-ენი=ბ1*(სქრ(ქ,ენ)-1)/(ქ-1).

     3. კვადრატული განტოლების ამოსახსნელად ჯერ ვითვლით დისკრიმინანტს: დ=სქრ(ბ,2)-4*ა*ც. და თუ ეს რიცხვი არაუარყოფითია, მაშინ ფესვების გამოთვლისთვის ვხმარობთ ფორმულებს: ტ1=(სქტ(დ)-ბ)/(2*ა) და ტ2=(-სქტ(დ)-ბ)/(2*ა).

     შეგიძლიათ პრაქტიკული ამოცანების ამოხსნის დროს გადმოიწეროთ შესაბამისი ფორმულები და ჩასვათ მოცემული მაგალითის რიცხვები.

    ნუ დაივიწყებთ იმასაც, რომ პროცენტებზე ზემოთ განხილულ მაგალითებს დიდი პრაქტიკული მნიშვნელობა აქვთ.

    ახლა განვიხილოთ ერთი სახალისო ამოცანა. პირველ იანვარს კარგ გუნებაზე მყოფი მამა დაპირდა ათი წლის კახაბერს: რადგან შენ გინდა შენი ფული გქონდეს მე ყოველდღე მოგცემ ფულს, ისეთნაირად, რომ წინა დღით მოცემულ თანხას დავუმატებ ერთ თეთრს. დღეს მოგცემ ერთ თეთრს, ხვალ ორს, ზეგ სამს, მაზეგ ოთხს და ასე ყოველდღე წლის ბოლომდე.

მამამ იცოდა რომ ამ წლის უკანასკნელ დღეს ოცდათერთმეტ დეკემბერს მოუწევდა 3 ლარისა და 65 თეთრის გაღება.

    ეჰ, ამოიოხრა კახაბერმა ეს რა ძუნწი მამა მყავს, მაგას სჯობდა ყოველდღე ლარი მაინც მოეცაო. მერე გაახსენდა ჭადრაკის გამომგონებლის მოთხოვნა მეფისადმი: როცა იხილა მეფემ ჭადრაკი, ძალიან მოეწონა ეს გონებამახვილური თამაში და გამომგონებელს უთხრა აბა, რამდენი ოქრო და თვალმარგალიტი მოგცეო. სწავლულმა უთხრა პირველ უჯრაზე ხორბლის ერთი მარცვალიო, მეორეზე ორიო, მესამეზე ორის კვადრატიო , მეოთხეზე სამის კვადრატის რაოდენობის მარცვალიო და ასე შემდეგ. მეფემ დაუწუნა არჩევანი, მერე დასვა მოანგარიშენი და აღმოჩნდა, რომ მთელ მის სამეფოში არ არსებობდა ამ რაოდენობის ხორბალი და გვირგვინოსანმა ინანა თავისი გაუნათლებლობა მათემატიკაში. ეს გაახსენდა კახაბერს და ვიანგარიშებ მაინცო: ბიჭს უკვე ნასწავლი ჰქონდა არითმეტიკული პროგრესია. არადა ძალიაბნ უნდოდა ამ ნორჩ მათემატიკოსს ახალი კომპიუტერის ყიდვა. ანგარიშის შემდეგ კახაბერმა დაანამუსა მამა: ერთი თეთრი ძალიან მცირეა, ეგებ ორი თეთრი დაუმატოო წინა დღით მოცემულ თანხას? მამას გაეცინა და დაყაბულდა. თქვენ რა გგონიათ იყიდის კახაბერი ახალ კომპიუტერს, რომლის ფასი 1200 ლარია? მოდით ეს თქვენ თვითონ გამოითვალეთ და თუ ვერ შესძელით მაშინღა ჩაიხედეთ წიგნის ბოლოში მოცემული სავარჯიშოების პასუხებში.

    ბოლოს, შევაჯამოთ კალკულატორის შესახებ მიღებული ცოდნა და მოვიყვანოთ შემაჯამებელი უმოკლესი ტექსტი.

 

     დავალება

     ამოხსენით კვადრატული განტოლებები: ტკვადრატ-3ტე+2=0. ტკვადრატს+12ტე-45=0.

 

 

გვერდის მისამართი : პროგრამები / ბუ ორის სახელმძღვანელო / 20.გაკვეთილი მეცხრამეტე-მათემატიკური ამოცანები