გაკვეთილი მეთვრამეტე

 

ლოგარითმებისა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოთვლები, პროცენტები

 

ლოგარითმი, ისევე, როგორც ამოფესვა წარმოადგენს ახარისხების შებრუნებულ ამოცანას. მოცემულია ხარისხი, ხარისხის ფუძე და ვეძებთ ხარისხის მაჩვენებელს. ხომ ვიცით, რომ სამის მეოთხე ხარისხი ოთხმოცდაერთია. ლოგარითმის შემთხვევაში მოცემული გვაქვს: ხარისხი ოთხმოცდაერთი და ფუძე  -  სამი უნდა ვიპოვოთ რიცხვი ოთხი, ანუ ოთხმოცდაერთის ლოგარითმი სამის ფუძით არის ოთხი. ამას კითხულობენ შემდეგნაირად: ოთხმოცდაერთის ლოგარითმი სამის ფუძით.

     ლოგარითმი აღინიშნება სამი ასოთი: ლოგ, შემდეგ იხსნება ფრჩხილი. პირველად ვწერთ ფუძეს, ხოლო მძიმის შემდეგ მოცემულ რიცხვს და ვხურავთ ფრჩხილს. გამოვითვალოთ 81-ს ლოგარითმი 3-ს ფუძით. ლოგ(3,81)=4.უარყოფითი რიცხვის ლოგარითმი დადებითი ფუძით არ არსებობს. ეს იმიტომ, რომ დადებითი რიცხვი რომელ ხარისხშიც არ უნდა ავიყვანოთ, ყოველთვის გვაძლევს დადებით რიცხვს. მაგრამ შეიძლება არსებობდეს უარყოფითი რიცხვის ლოგარითმი უარყოფითი ფუძით. მინუს ოცდათორმეტის ლოგარითმი მინუს ორის ფუძით არის ხუთი. უნდა ვთქვათ, რომ უარყოფით ფუძიანი ლოგარითმები სკოლაში არ შეისწავლება და თქვენც გაუგებრობის თავიდან ასაცილებლად გამოითვალეთ მხოლოდ დადებით ფუძიანი ლოგარითმები. სკოლაშიც და ცხოვრებაშიც უფრო ფართოდ ხმარობენ ისეთ ლოგარითმებს, რომელთა ფუძეც არის ათი. ასეთ ლოგარითმებს უწოდებენ ათობით ლოგარითმებს და საერთო წესადაა მიღებული მათ ფუძეც კი არ დაუწერონ. იცოდეთ, რომ თუ გავალებენ გამოითვალოთ რაღაც რიცხვის ლოგარითმი, ისე რომ არც კი გეუბნებიან რომელი ფუძით, მაშინ იგულისხმება რომ ფუძე არის ათი. ამის გამო ლოგარითმის გამოთვლისას თუ ფუძეს არ წერენ, ის ათის ტოლია. ჩანაწერიც შესაბამისად კეთდება. მაგალითად, ლოგ(1000)=3.

     ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოსათვლელად პროგრამა «ბუ-ორში» შეტანილია სინუსის მნიშვნელობათა ცხრილი ნოლიდან ოთხმოცდაათ გრადუსიანი კუთხეების ჩათვლით. ნებისმიერი, რა გინდ დიდი, კუთხეების სინუსის გამოსათვლელად ჩვენს პროგრამაში ჩადებულია შესაბამისი ალგორითმი და ამ მხრივ პრობლემა არ არსებობს. სანამ მაგალითს განვიხილავთ, საჭიროა ვიცოდეთ სწორი გამოთვლისათვის როგორ  ჩავწეროთ ტრიგონომეტრიული ფუნქცია. სინუსის ჩასაწერად ვიყენებთ სიტყვას სინ და ვხსნით ფრჩხილს, ვწერთ არგუმენტსდა შემდეგ ვხურავთ ფრჩხილს. ამის შემდეგ ვაწვებით ტოლობას. მაგალითად, სინ(45)=0.70711. ავიღოთ უფრო დიდი არგუმენტი, სინ(5746)=-0.24192.

     იმისთვის, რომ გამოვითვალოთ ნებისმიერი არგუმენტისთვის სხვა ტრიგონომეტრიული ფუნქციები: კოსინუსი, ტანგესი და კოტანგესი მოგვიხდება ტრიგონომეტრიაში ნასწავლი ზოგიერთი რამის გახსენება. პირველი ის, რომ რაც არ უნდა დიდი იყოს არგუმენტი მისი შესაბამისი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გათვლა დაიყვანება ნულიდან სამასსამოც გრადუსამდე კუთხის ფუნქციის გათვლაზე, ანუ ჩვენ შეგვიძლია რაც არ უნდა დიდი იყოს კუთხე უყოყმანოდ ჩამოვაცილოთ სამას სამოცის ჯერადი კუთხეები და როგორც ვთქვით დავიდეთ ნოლიდან სამასსამოც გრადუსიან კუთხის არგუმენტზე. მაგალითად 1038466. ზუსტად, აქ გამოგვადგება მთელ ნაწილიანი და ნაშთიანი გაყოფის ოპერაციები. ჩავატაროთ ეს მოქმედებები და ვნახავთ, რომ 1038466=360*2884+226. მაშასადამე, ამხელა რიცხვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გათვლა დაიყვანება ორას ოცდაექვს გრადუსიანი კუთხის შესაბამისი ფუნქციების გამოთვლაზე. გამოვითვალოთ იმ დიდი არგუმენტის კოსინუსი. ეს კი იმას ნიშნავს, რომ გამოვითვალოთ ორასოცდაექვს გრადუსიანი კუთხის კოსინუსი.

    ახლა ჩვენ დაგვჭირდება, ცოდნა იმის შესახებ, თუ რა ნიშნებს ატარებენ ტრიგონომეტრიული ფუნქციები სხვადასხვა მეოთხედებში და ეგრეთ წოდებული დაყვანის ფორმულები. პირველ მეოთხედი მოიცავს კუთხეებს ნოლიდან ოთხმოცდაათ გრადუსამდე. ოთხმოცდაათიდან ასოთხმოც გრადუსამდე არის  - მეორე მეოთხედი. ასოთხმოციდან ორასსამოცდაათამდე წარმოადგენს მესამე მეოთხედს, ხოლო ორასსამოცდაათიდან სამასსამოცამდე მეოთხე მეოთხედია. ეს კარგად უნდა დავიმახსოვროთ.

     სინუსი პირველ და მეორე მეოთხედში დადებითია, მესამე და მეოთხე მეოთხედებში კი უარყოფითი. კოსინუსი დადებითია პირველ და მეოთხე მეოთხედებში, მეორე და მესამეში კი  -  უარყოფითი. დანარჩენი ორი ფუნქცია: ტანგესი და კოტანგესი კენტ მეოთხედებში დადებითებია, ლუწში კი  -  უარყოფითი. მოგიხდებათ ნებისყოფის ცოტათი დაძაბვა და ამის დამახსოვრებაც. აბა ვარდს რომ წყვეტენ ეკალიც ხომ ერჭობათ.

     დაყვანის ფორმულებსაც თავისი წესი გააჩნია, მაგრამ მე შეგიმსუბუქებთ ამ საქმეს და მარტივ ხერხს მოგაწვდით.

   მოდით გავარკვიოთ ორასოცდაექვს გრადუსიანი კუთხე მერამდენე მეოთხედშია. ის ასოთხმოცზე მეტია და ორასსამოცდაათზე ნაკლები. გამოდის, რომ ეს კუთხე მდებარეობს მესამე მეოთხედში. თუ კუთხე არის მოთავსებული მეორე ან მესამე მეოთხედებში, მაშინ მისი არგუმენტი ყოველთვის შეგვიძლია წარმოვადგინოთ, როგორც ასოთხმოცს მიმატებული ან გამოკლებული ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლები კუთხე, ხოლო მეოთხე და პირველ მეოთხედებში სამასსამოცს გამოკლებული ან დამატებული რაიმე პატარა კუთხე, თუმცა პირველ მეოთხედში მდებარე კუთხეს ასეთი რამ სულაც არ სჭირდება. ორასოცდა ექვსი არის ასოთხმოცს მიმატებული ორმოცდაექვსი. ჩვენ შეგვიძლია ეს ასოთხმოციც ჩამოვაცილოთ და დავიდეთ ორმოცდაექვს გრადუსიან კუთხეზე, ოღონდ, რადგან კოსინუსი მესამე მეოთხედში უარყოფითია, უნდა გამოვითვალოთ მინუს კოსინუს ორმოცდაექვსი გრადუსისა. დაგვრჩა ბოლო ნაბიჯი. თუ ორი კუთხის ჯამი არის ოთხმოცდაათი, მაშინ ერთი კუთხის კოსინუსი უდრის მეორე კუთხის სინუსს და პირუკუ. ისეთ კუთხეებს, რომელთა ჯამიც ოთხმოცდაათი გრადუსია ეწოდებათ დამატებითი კუთხეები. ჩვენს შემთხვევაშიორმოცდაექვსი კუთხის დამატებითი კუთხე იქნება44 გრადუსიანი კუთხე და კოსინუს ორმოცდაექვსი შეგვიძლია შევცვალოთ სინუს ორმოცდაოთხი გრადუსიანი კუთხით.სინუსების გამოთვლის ცხრილი კი მოთავსებულია ჩვენს კომპიუტერში. არ უნდა დაგვავიწყდეს, რომ წინ არ დავკარგოთ მინუსი ნიშანი. გვექნება:

     კოს1038466=კოს(360*2884+226)=კოს226=კოს(180+46)=-კოს46= -სინ(44)=-0.69466.

     ეს ჩანაწერი წარმოადგენს ისეთ ჩანაწერს, რომელსაც ხმარობენ მხედველი ადამიანები და არ აკლია მათემატიკური ჩანაწერის კულტურა. ამისთვის მე ვიხმარე პატარა ეშმაკობები: კოსინუსების შემთხვევაში არგუმენტს არ ვსვავდი ფრჩხილებში, ამიტომაც როცა ვაწვებოდი გამოთვლის ღილაკს, კომპიუტერი მიცხადებდა, გამოთვლა შეუძლებელიაო, სამაგიეროდ სვამდა ტოლობის ნიშანს. ბოლო ტოლობისას, როცა უნდა მიმეღო შედეგი გადავცდი ტოლობის ნიშანს და გავაკეთე დაშორების კლავიშით ერთი ბიჯი, რათა კომპიუტერს გამოეყო ეს ბოლო სინუსი და მოეხდინა გათვლა.

     ამდენად ჩვენ გამოვითვალეთ იმ მილიონიანი არგუმენტის კოსინუსი. ეს მაგალითი მიუთითებს იმაზე, რომ ჩვენ ყოველთვის შევძლებთ ნებისმიერი ტრიგონომეტრიული ფუნქციის გამოთვლა ნებისმიერი არგუმენტით დავიყვანოთ ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლები სინუსის გამოთვლაზე.

    ახლა გამოვითვალოთ ამავე არგუმენტის შესაბამისი ტანგესი და კოტანგესი. ტანგესი წარმოადგენს სინუსის შეფარდებას კოსინუსთან და კოტანგესი პირიქით, კოსინუსის შეფარდებას სინუსთან. მაგრამ ჩვენ ჯერ არ გამოგვითვლია ამავე არგუმენტის სინუსი. აქ გამოთვლა იოლია. ამას აკეთებს თვითონ პროგრამა.  სინ(1038466)=-0.71934.

    ტანგ1038466=სინ1038466/კოს1038466= (-0.71934)/(-0.69466)=1.036. ანალოგიურად შეგვიძლია მოვიქცეთ კოტანგესის გამოსათვლელად, მაგრამ ტრიგონომეტრიიდან ისიცაა ცნობილი, რომ ერთის გაყოფით ტანგესზე, ვიღებთ კოტანგესს და პირუკუ ერთის გაყოფა კოტანგესზე გვაძლევს ტანგესს. ჩვენც ვისარგებლოთ ამ ფაქტით. კოტან1038466=1/ტანგ1038466= 1/1.036=0.965.

     ამ მაგალითზე დაყრდნობით ჩვენ შეგვიძლია ჩამოვაყალიბოთ დიდი არგუმენტისთვის ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოთვლის ალგორითმი:

     1. სინუსი ითვლება ჩვეულებრივად, ყოველგვარი დამატებითი მოქმედებების გარეშე;

     2. კოსინუსის გამოსათვლელად:

   ა) არგუმენტი დაგვყავს სამასსამოც გრადუსიან ნაკლებ კუთხეზე, სამასსამოციანი კუთხეების ჯერადების ჩამოცილებით. ვპოულობთ მოცემული არგუმენტის ნაშთიანი გაყოფის შედეგს და დიდარგუმენტიანი კოსინუსი დაგვყავს მიღებული ნაშთის არგუმენტის მქონე კოსინუსის გამოთვლაზე. სხვათაშორის სამასსამოციანი კუთხის ჯერად კუთხეებს ჰქვიათ პერიოდები და მათი გადაგდებით ტრიგონომეტრიულ ფუნქციათა მნიშვნელობები არ იცვლებიან;

      ბ) ვარკვევთ, რომელ მეოთხედშია მოთავსებული მიღებული კუთხე. თუ იგი მეორე მეოთხედშია არგუმენტს წარმოვადგენთ, როგორც ასოთხმოცს გამოკლებული რაღაც კუთხე. მაგალითად 150=180-30. შემდეგ კოსინუსს არგუმენტად ვუწერთ მაკლებს და დავდივართ ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლები კუთხის კოსინუსის გამოთვლაზე, ოღონდ კოსინუსს წინ უნდა დავუსვათ მინუსი, რადგან იგი მეორე მეოთხედში უარყოფითია;

      გ) თუ ვიმყოფებით მესამე მეოთხედში, მაშინ არგუმენტი წარმოდგება, როგორც ასოთხმოცს მიმატებული რაღაც კუთხე, აქაც ჩამოვაცილებთ ასოთხმოცს და არგუმენტად დავწერთ ოთხმოცდაათ გრადუსიან კუთხეზე ნაკლებ კუთხეს, ოღონდ კოსინუსს წინ დავუწერთ მინუსს, რადგანაც ამ მეოთხედშიც კოსინუსი უარყოფითია;

       დ) თუ ვიმყოფებით მეოთხე მეოთხედში მაშინ არგუმენტი წარმოდგება, როგორც სამასსამოცს გამოკლებული რაღაც რიცხვი. აქაც გადავაგდებთ სამასსამოცს და არგუმენტად დავწერთ მაკლებს. მეოთხე მეოთხედში კოსინუსი დადებითია და წინ არავითარი ნიშანი არ დაეწერება;

      წინა მოქმედებებით ჩვენ, ყველა შემთხვევაში, დავედით ოთხმოცდაათ გრადუსზე ნაკლებ კუთხის კოსინუსის გათვლაზე. ახლა მოვძებნოთ კოსინუსის არგუმენტის დამატებითი კუთხე, ამისთვის ოთხმოცდაათს გამოვაკლოთ კოსინუსის არგუმენტის შესაბამისი რიცხვი და გამოვითვალოთ მისი სინუსი, ამით ჩვენ გავიგებთ თავიდან აღებული დიდ არგუმენტიან კოსინუსის მნიშვნელობას.

       3. ტანგესის გამოსათვლელად გამოვითვლით სინუსს და კოსინუსს შესაბამისი არგუმენტისთვის და პირველს გავყოფთ მეორეზე;

     4. კოტანგესის გამოსათვლელად კოსინუსს ვყოფთ სინუსზე.

     ტრიგონომეტრიაში განიხილება უარყოფითი კუთხეებიც. ამ შემთხვევაში ტრიგონომეტრიული წრის რადიუს-ვექტორი მოძრაობს საათის ისრის მოძრაობის თანხვდენილად. მაგალითად, შეიძლება შეგვხვდეს ასეთი მაგალითი, გამოითვალეთ ტანგეს მინუს ხუთასოთხმოციანი კუთხისთვის. აქ უნდა მოვიშველიოთ: ტრიგონომეტრიული ფუნქციების ლუწობა და კენტობა. დავიმახსოვროთ, რომ ლუწია მხოლოდ კოსინუსი, სინუსი, ტანგესი და კოტანგესი კი კენტი ფუნქციებია. ლუწი ფუნქციის გათვლისას არგუმენტის მინუს ნიშანს, უბრალოდ, ვაგდებთ, ხოლო სხვა შემთხვევებში მინუსი ნიშანი გამოგვაქვს ფუნქციის წინ და ვითვლით ფუნქციის მნიშვნელობას დადებითი არგუმენტისთვის. კოს(-516)=კოს(516), ხოლო სინ(-100)=-სინ(100, ტანგ(-210)=-ტანგ)210), კოტ(-1000)=-კოტანგ(1000).

 

დავალება

  გამოითვალეთ შემდეგი გამოსახულების მნიშვნელობა :სინ1849+კოს5555-ტანგ(-816).

 

 

გვერდის მისამართი : პროგრამები / ბუ ორის სახელმძღვანელო / 19.გაკვეთილი მეთვრამეტე-ლოგარითმებისა და ტრიგონომეტრიული ფუნქციების გამოთვლები